Крэпс

Крэпс - это игра в кости, в которой бросаются два кубика, и их сумма определяет результат.

  • Если сумма равна 7 или 11, вы выигрываете и игра окончена.
  • Если сумма равна 2, 3 или 12, вы проигрываете и игра окончена.
  • Если вы выбросите 4, 5, 6, 8, 9 или 10, это значение становится вашим «очком», и вы продолжаете бросать, пока не перебросите свое очко или 7. Если вы бросите свое очко, вы выиграете; если вы выбросите 7, вы проиграете.

Видео: используйте Real Player, чтобы прослушать инструкции и посмотреть несколько игр, чтобы убедиться, что вы понимаете игру. (56k - DSL / кабель)

Некоторые вероятности легко найти. Фундаментальный принцип подсчета гласит, что существует 6 * 6 = 36 способов бросить два кубика, и все они одинаково вероятны, если кости правильные. Есть только один способ бросить сумму 2 (змеиный глаз или 1 на обоих кубиках), поэтому вероятность получить сумму 2 составляет 1/36. Есть 4 способа получить пятерку (1-4, 2-3, 3-2, 4-1), поэтому вероятность получить пятерку составляет 4/36. Вероятности получения любой из первых сумм броска можно найти довольно легко и они показаны в таблице ниже.

Вероятность суммы при первом броске

Сумма 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Вероятность 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Мы можем найти вероятность выигрыша, проигрыша или получения очка при первом броске игры, сложив вероятности сумм, связанных с выигрышем, проигрышем или получением очка. Например, поскольку 7 или 11 является победителем в первом броске, а их вероятности равны 6/36 и 2/36, вероятность выигрыша в первом броске составляет 6/36 + 2/36 = 8/36.

Вероятность выигрыша, проигрыша или получения очка при первом броске

Исход Выиграть Терять Точка
Вероятность 8/36 4/36 24/36

Точка

Основная проблема с игрой в кости заключается в том, что она теоретически может продолжаться бесконечно, если при первом броске будет получено очко. На практике это не так. В конце концов, вы либо перебросите эту точку и выиграете, либо выбросите 7 и проиграете.

Но поскольку теоретически можно продолжать бесконечно, определение вероятностей включает бесконечный геометрический ряд. В качестве примера рассмотрим случай, когда точка представляет собой цифру 9, которая показана на древовидной диаграмме справа. Как только вы выбросите 9, есть шанс 4/36 = 1/9 бросить его снова при любом броске и 6/36 = 1/6 шанс выбросить 7 и проиграть. Однако существует вероятность 13/18, что вы не выбросите ни один из них, и игра продолжится до следующего раунда.

Шанс на победу во втором броске (первый после точки) равен 1/9, шанс выигрыша в третьем броске составляет 13/18 * 1/9 = 13/162, а в третьем броске - 13/18 * 13/18 *. 1/9 = 169/2916 шанс на победу в четвертом броске. Но это не останавливается на достигнутом, оно продолжается, продолжается и продолжается. Затем вам нужно сложить все эти вероятности, и это включает в себя бесконечный геометрический ряд. Для вас это может быть несложно, но поскольку предварительным условием для прохождения курса прикладной статистики является алгебра среднего уровня, большинство студентов никогда не видели бесконечных геометрических рядов.

Значит, должен быть другой способ.

Моделирование

Это игра, которая доставляет наибольшее удовольствие, когда она моделируется с использованием реальных игральных костей. Конечно, было бы возможно и быстрее смоделировать это с помощью компьютера, но это было бы не так весело.

Вот как работает симуляция. Бросьте пару кубиков и запишите сумму в таблицу, где написано «Сумма при первом броске». Затем мы собираемся записать результат первого броска как «Победа», «Проигрыш» или «Очко» в таблице, где написано «Результат первого броска». Если сумма равна 2, 3, 7, 11 или 12, скопируйте результаты первого броска в столбец общих результатов и переходите к следующей игре. Если вы выбросили очко, продолжайте бросать кубик до тех пор, пока не выкинете либо то очко, либо 7, но не записывайте значение каждого из этих бросков. После того, как вы набрали свое очко или 7, запишите либо «Победа», либо «Проигрыш» в таблице для получения общих результатов. Вы можете сократить результаты до «W», «L» или «P».

Игра Сумма по первому рулону Результат первого броска Общий результат
1
2
3
4
5

Анализ

После того, как вы сыграли несколько игр (я рекомендую 36, поскольку существует 36 возможных исходов, и это увеличивает вероятность), самое время расслабиться и посмотреть, что вы собрали.

Вероятность первого броска

Пройдите и посчитайте, сколько раз каждая сумма выпадала при первом броске кубиков. Запишите это в таблице ниже как долю от общего количества рулонов и сравните с теоретическими вероятностями, которые мы нашли ранее.

Сумма 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Наблюдаемый
Теоретическая 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Близки ли наблюдаемые вероятности к теоретическим? Они должны приближаться по мере того, как вы моделируете больше дерьмовых игр (закон больших чисел).

Результаты первого броска

Теперь сложите количество раз, когда вы получали выигрыш, проигрыш или очко при первом броске кубиков, и запишите это в виде дроби. Если вы играли правильно, это также можно найти, сложив вероятности получения выигрыша (7 или 11), проигрыша (2, 3 или 12) или очка (все остальное) вместе.

Запишите их в приведенную ниже таблицу и сравните с теоретическими вероятностями, найденными путем сложения теоретических вероятностей, упомянутых в последнем абзаце или найденных ранее в этом документе.

Исход Выиграть Терять Точка
Наблюдаемый
Теоретическая 8/36 4/36 24/36

Окончательные результаты

Вы, наверное, думаете про себя, что это бессмысленно. Пока что мы не нашли ничего, что нельзя было бы найти с помощью простых вероятностей, и это было намного быстрее и точнее (точнее, а не приближением).

Что нас действительно интересует, так это конечные результаты игры; то есть вероятности выигрыша или проигрыша всей игры. Подсчитайте, сколько раз вы выиграли и проиграли, для общих результатов и запишите это как дробь от общей суммы.

Исход Выиграть Терять
Наблюдаемый
Теоретическая 244/495 251/495

Близки ли ваши результаты к теоретическим результатам (полученным с помощью бесконечных геометрических рядов или поглощающих цепей Маркова)? Вы должны были проиграть на несколько игр больше, чем выиграть. В конце концов, казино хотят зарабатывать деньги, не так ли?

Тип моделирования

Это моделирование, используемое для поиска вероятностей. В этом виде моделирования вы проводите эксперимент и в конечном итоге находите количество успехов, разделенное на количество испытаний, чтобы найти относительную частоту или эмпирическую вероятность. Успех определяется как вероятность того, что вы пытаетесь найти. Итак, если вы ищете вероятность выпадения 6, то это количество 6 по общему количеству бросков. Если вы пытаетесь найти вероятность проиграть в игре, то это количество проигрышей, деленное на общее количество игр.

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ