Как сделать коробчатую модель

Мы часто можем найти аналогию между случайным процессом, который нас интересует, и рисованием чисел из коробки. Например, когда мы бросаем шестигранный кубик, мы можем получить один из следующих результатов:

Бросание кубика и подсчет пятен на перевернутом лице аналогичны случайному извлечению билета из этого ящика:

Модель коробки состоит из списка с указанием количества билетов в коробке, того, что написано на билетах, сколько розыгрышей вы собираетесь сделать из коробки, а также от того, рисуете ли вы с заменой.

Чтобы изготовить коробчатую модель, вам необходимо ответить на четыре вопроса:

1. Что делается снова и снова?

Мы задаем этот вопрос, потому что пытаемся связать процесс с многократным рисованием из коробки. Четкое представление о том, что повторяется, помогает нам ответить на вопросы о том, сколько билетов должно быть в коробке и что на них должно быть написано. Это также помогает нам решить, сколько раз мы рисуем из нашей «коробки».

Имейте в виду, что в повторяющихся действиях должен быть элемент случайности.

Рассмотрите следующие три сценария и попытайтесь решить, какое действие повторяется в каждом из них.

Сценарий 1:

Тест с несколькими вариантами ответов состоит из 20 вопросов, в каждом из которых есть 4 возможных варианта. Каждый правильный ответ приносит 5 баллов, а за каждый неправильный ответ вы теряете 2 балла. Мы хотим построить коробочную модель для результатов теста, если учащийся случайным образом угадывает все ответы.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Сценарий 2:

На колесе рулетки 38 ячеек, пронумерованных 0, 00 и 1-36.

Вы ставите 1 доллар на числа от 1 до 18 в рулетке один раз в день в течение 30 дней. По ставке выплачиваются равные деньги, что означает, что если мяч приземляется в слотах 1-18, вы выигрываете доллар (чистый выигрыш составляет 1 доллар), а если он приземляется где-то еще, вы теряете свой доллар (чистый убыток - 1 доллар США). ). Мы хотим построить коробочную модель для суммы денег, которую мы выигрываем или теряем, делая эти ставки.

(Дополнительную информацию о рулетке см. На страницах 281–284 учебника.)

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Сценарий 3:

В одном городе зарегистрировано 30 000 избирателей, из которых 12 000 зарегистрированы как демократы. Политическая организация берет простую случайную выборку из 1000 избирателей и подсчитывает количество зарегистрированных демократов в выборке. Мы хотим построить коробочную модель, аналогичную подсчету количества демократов в выборке.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Как только вы узнаете, какое действие повторяется, самое время задать второй вопрос.

2. Сколько разных результатов получается каждый раз, когда вы повторяете эксперимент?

Мы задаем этот вопрос, потому что ответ подсказывает нам, сколько билетов должно быть в нашей коробке. Важно различать количество исходов в одном повторении (количество билетов в коробке) от количества повторений действия (количество розыгрышей из коробки).

Сценарий 1:

Отзывать:

Тест с несколькими вариантами ответов состоит из 20 вопросов, в каждом из которых есть 4 возможных варианта. Каждый правильный ответ приносит 5 баллов, а за каждый неправильный ответ вы теряете 2 балла. Мы хотим построить коробочную модель для результатов теста, если учащийся случайным образом угадывает все ответы.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Сценарий 2:

Отзывать:

На колесе рулетки 38 ячеек, пронумерованных 0, 00 и 1-36.

Вы ставите 1 доллар на числа от 1 до 18 в рулетке один раз в день в течение 30 дней. По ставке выплачиваются равные деньги, что означает, что если мяч приземляется в слотах 1-18, вы выигрываете доллар (чистый выигрыш составляет 1 доллар), а если он приземляется где-то еще, вы теряете свой доллар (чистый убыток - 1 доллар США). ). Мы хотим построить коробочную модель для суммы денег, которую мы выигрываем или теряем, делая эти ставки.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Сценарий 3:

Отзывать:

В одном городе зарегистрировано 30 000 избирателей, из которых 12 000 зарегистрированы как демократы. Политическая организация берет простую случайную выборку из 1000 избирателей и подсчитывает количество зарегистрированных демократов в выборке. Мы хотим построить коробочную модель, аналогичную подсчету количества демократов в выборке.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Теперь, когда мы знаем, сколько билетов в коробке, нам нужно пометить каждый билет.

3. Каков результат каждого результата?

Как правило, мы будем складывать то, что написано на выпавших билетах. Таким образом, нам нужно указать в билете номер, который влияет на счет, сумму выигранных / проигранных денег или подсчет (демократы, республиканцы, орел, решка и т. Д.).

Сценарий 1:

Отзывать:

Тест с несколькими вариантами ответов состоит из 20 вопросов, в каждом из которых есть 4 возможных варианта. Каждый правильный ответ приносит 5 баллов, а за каждый неправильный ответ вы теряете 2 балла. Мы хотим построить коробочную модель для результатов теста, если учащийся случайным образом угадывает все ответы.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Сценарий 2:

Отзывать:

На колесе рулетки 38 ячеек, пронумерованных 0, 00 и 1-36.

Вы ставите 1 доллар на числа от 1 до 18 в рулетке один раз в день в течение 30 дней. По ставке выплачиваются равные деньги, что означает, что если мяч приземляется в слотах 1-18, вы выигрываете доллар (чистый выигрыш составляет 1 доллар), а если он приземляется где-то еще, вы теряете свой доллар (чистый убыток - 1 доллар США). ). Мы хотим построить коробочную модель для суммы денег, которую мы выигрываем или теряем, делая эти ставки.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Сценарий 3:

Отзывать:

В одном городе зарегистрировано 30 000 избирателей, из которых 12 000 зарегистрированы как демократы. Политическая организация берет простую случайную выборку из 1000 избирателей и подсчитывает количество зарегистрированных демократов в выборке. Мы хотим построить коробочную модель, аналогичную подсчету количества демократов в выборке.

Показать / скрыть вопрос на понимание.

Примечание:

Технически, поскольку мы (по крайней мере теоретически) рисуем с заменой, коробки с одинаковыми пропорциями билетов могут использоваться как взаимозаменяемые. Таким образом, каждое из представленных ниже квадратов можно использовать вместо поля в Сценарии 3.

А теперь последний вопрос.

4. Сколько раз повторяется действие?

Ответом на этот вопрос будет количество раз, которое вы возьмете из коробки.

Сценарий 1:

Отзывать:

Тест с несколькими вариантами ответов состоит из 20 вопросов, в каждом из которых есть 4 возможных варианта. Каждый правильный ответ приносит 5 баллов, а за каждый неправильный ответ вы теряете 2 балла. Мы хотим построить коробочную модель для результатов теста, если учащийся случайным образом угадывает все ответы.

Сценарий 2:

Отзывать:

На колесе рулетки 38 ячеек, пронумерованных 0, 00 и 1-36.

Вы ставите 1 доллар на числа от 1 до 18 в рулетке один раз в день в течение 30 дней. По ставке выплачиваются равные деньги, что означает, что если мяч приземляется в слотах 1-18, вы выигрываете доллар (чистый выигрыш составляет 1 доллар), а если он приземляется где-то еще, вы теряете свой доллар (чистый убыток - 1 доллар США). ). Мы хотим построить коробочную модель для суммы денег, которую мы выигрываем или теряем, делая эти ставки.

Сценарий 3:

Отзывать:

В одном городе зарегистрировано 30 000 избирателей, из которых 12 000 зарегистрированы как демократы. Политическая организация берет простую случайную выборку из 1000 избирателей и подсчитывает количество зарегистрированных демократов в выборке. Мы хотим построить коробочную модель, аналогичную подсчету количества демократов в выборке.

Помните: это правда, что вероятность розыгрыша каждого билета различается, если мы тянем с заменой или без замены в сценарии 3. К счастью, разница в шансах невелика, и нам не нужно об этом беспокоиться.

Резюме

Давайте сложим все воедино и попробуем разыграть пару новых сценариев. Помните, что модель коробки состоит из списка количества билетов в коробке, того, что написано на билетах, сколько розыгрышей вы собираетесь сделать из коробки и рисуете ли вы с заменой.

Сценарий 1:

Отзывать:

Тест с несколькими вариантами ответов состоит из 20 вопросов, в каждом из которых есть 4 возможных варианта. Каждый правильный ответ приносит 5 баллов, а за каждый неправильный ответ вы теряете 2 балла. Мы хотим построить коробочную модель для результатов теста, если учащийся случайным образом угадывает все ответы.

Сценарий 2:

Отзывать:

На колесе рулетки 38 ячеек, пронумерованных 0, 00 и 1-36.

Вы ставите 1 доллар на числа от 1 до 18 в рулетке один раз в день в течение 30 дней. По ставке выплачиваются равные деньги, что означает, что если мяч приземляется в слотах 1-18, вы выигрываете доллар (чистый выигрыш составляет 1 доллар), а если он приземляется где-то еще, вы теряете свой доллар (чистый убыток - 1 доллар США). ). Мы хотим построить коробочную модель для суммы денег, которую мы выигрываем или теряем, делая эти ставки.

Сценарий 3:

Отзывать:

В одном городе зарегистрировано 30 000 избирателей, из которых 12 000 зарегистрированы как демократы. Политическая организация берет простую случайную выборку из 1000 избирателей и подсчитывает количество зарегистрированных демократов в выборке. Мы хотим построить коробочную модель, аналогичную подсчету количества демократов в выборке.

Сценарий 4:

Ставки на один номер в KENO оплачиваются 2 к 1 и имеют шанс на выигрыш 1 из 4. Предположим, игрок делает ставку 10 долларов на один номер в KENO один раз в день в течение 100 дней. Постройте модель коробки для суммы денег, которую он выигрывает / проигрывает.

Примечание. Когда ставка выплачивается 2 к 1, это означает, что ваша чистая прибыль в 2 раза превышает сумму ставки, когда вы выигрываете, и вы теряете сумму ставки, которую проигрываете.

Сценарий 5:

Шестигранный кубик бросается 60 раз. Мы хотим подсчитать, сколько раз кубик выпадал на «3». Постройте коробчатую модель.

Вы можете строить коробчатые модели. Замечательно!

Расчет шансов по коробчатым моделям

Центральная предельная теорема говорит нам:

При произвольном розыгрыше с заменой из коробки гистограмма вероятности для суммы будет следовать нормальной кривой, даже если содержимое коробки не соответствует, при условии, что количество розыгрышей достаточно велико.

Мы можем использовать нормальную кривую для расчета шансов.

Сценарий 1:

Тест с несколькими вариантами ответов состоит из 20 вопросов, в каждом из которых есть 4 возможных варианта. Каждый правильный ответ приносит 5 баллов, а за каждый неправильный ответ вы теряете 2 балла. Каков шанс, что ученик, который угадает все ответы, получит 10 или больше баллов?

Гистограмма для суммы 20 розыгрышей из этого поля имеет форму нормальной кривой. Как и в случае со всеми вопросами о нормальной кривой, нам сначала нужно знать центри стандартное отклонениенормальной кривой. Мы используем следующие правила:

Вспомните коробочную модель для этого сценария:

Ничья 20 раз с заменой.

Среднее значение билетов составляет -0,25, а стандартное отклонение билетов составляет 3,031.

(Чтобы узнать среднее значение и стандартное отклонение коробки билетов с помощью калькулятора, нажмите здесь.)

Используйте эти числа в формулах для EVsum и SEsum.

Теперь вычислите площадь под нормальной кривой с центром -5 и SD 13,56 справа от 10, чтобы ответить на вопрос выше.

Сценарий 2:

Вы ставите 1 доллар на числа от 1 до 18 в рулетке каждый день в течение 30 дней. По ставке выплачиваются равные деньги. Рассчитайте шанс, что вы выйдете вперед. То есть, какова вероятность того, что у вас будет положительный (больше 0) баланс в конце месяца?

Коробочная модель для этого сценария была такой: мы рисуем 30 раз с заменой.

Опять же, благодаря центральной предельной теореме, мы видим, что гистограмма суммы ничьих имеет форму нормальной кривой.

Нам нужно рассчитать среднее значение и стандартное отклонение билетов в коробке.

Нахождение SD коробки

Затем используйте эти числа для вычисления центра (EVsum) и разброса (SEsum) гистограммы.

Теперь используйте нормальную кривую, чтобы вычислить площадь справа от 0.

Сценарий 3:

В одном городе зарегистрировано 30 000 избирателей, из которых 12 000 - демократы. Организация, проводящая опрос, собирается взять простую случайную выборку из 1000 зарегистрированных избирателей. Подсчитайте вероятность попадания в выборку 425 или более демократов.

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ